二元函数在一点处的极限、连续、偏导与可微

设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 附近有定义。讨论以下性质：

性质	在 $P$ 点的含义
二重极限存在	$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在
连续	二重极限存在，并且等于 $f(x_0,y_0)$
关于 $x,y$ 分别连续	固定 $y=y_0$ 时关于 $x$ 连续；固定 $x=x_0$ 时关于 $y$ 连续
一阶偏导数存在	$f_x(x_0,y_0)$ 与 $f_y(x_0,y_0)$ 都存在
可微	$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_x(P)\Delta x+fy(P)\Delta y+o(\sqrt{ \Delta x^{2}+\Delta y^{2} })$
一阶偏导数连续	$f_x,f_y$ 在 $P$ 的某个邻域内有定义，并且在 $P$ 连续

必然成立的推导

900

5 $\Rightarrow$ 4：若两个一阶偏导数在 $P$ 附近存在，并且在 $P$ 连续，则函数在 $P$ 可微。这是判断可微的常用充分条件，但不是必要条件。

4 $\Rightarrow$ 2、3：可微意味着函数在 $P$ 附近能够由一个线性函数近似，因此函数必在 $P$ 连续；令 $\Delta y=0$ 或 $\Delta x=0$ ，又可得到两个一阶偏导数都存在。

2 $\Rightarrow$ 1、2′：连续已经包含“二重极限存在且等于函数值”。二重极限沿任意路径都趋于同一个值，当然也包括两条坐标方向。

3 $\Rightarrow$ 2′： $f_x(P)$ 存在，说明一元函数 $x\mapsto f(x,y_0)$ 在 $x_0$ 可导，因而在 $x_0$ 连续； $f_y(P)$ 同理。

定义

$f(x,y)= \begin{cases} 0,&(x,y)\ne(0,0),\\ 1,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$

当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，附近点的函数值始终为 0，因此

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.$

但 $f(0,0)=1$ ，所以函数在原点不连续。这个函数关于 $x$ 和 $y$ 也分别不连续，两个偏导数同样不存在。因此，单凭二重极限存在，不能推出2、2′、3或4。

取

$f(x,y)=|x|+|y|.$

它在原点连续，当然也关于 $x,y$ 分别连续。但是

$f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}$

不存在， $f_y(0,0)$ 同理。因此，即使函数连续，也不能保证偏导数存在，更不能保证可微。

定义

$f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$

在两条坐标轴上，函数恒为 0，所以

$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0,$

而且函数关于 $x,y$ 分别连续。但是沿两条不同路径趋近原点时，

$f(x,x)=\frac12, \qquad f(x,-x)=-\frac12.$

二重极限不存在。因此该函数在原点不连续，也不可能可微。这个例子说明：偏导数只考察两个坐标方向；二重极限和可微要求控制所有趋近方向。

令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ，定义

$f(x,y)= \begin{cases} r^2\sin\dfrac1r,&r>0,\\[6pt] 0,&r=0. \end{cases}$

因为

$\frac{|f(x,y)-f(0,0)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leqslant r\to0,$

所以 $f$ 在原点可微，微分的线性部分为 0。对 $r>0$ ，

$f_x(x,y)=2x\sin\frac1r-\frac{x}{r}\cos\frac1r.$

沿 $y=0, x>0$ 趋近原点时，

$f_x(x,0)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x,$

它没有极限，而 $f_x(0,0)=0$ 。因此 $f_x$ 在原点不连续。函数可微，却不满足一阶偏导数连续。