Gamma Function

$\Gamma$ 函数

$$\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{-x} \, \mathrm{d}{x}$$

它的性质十分有趣。

$\Gamma (\alpha)$ 值

考虑递推式

$$\begin{align}
\Gamma(\alpha)&= -x^{\alpha-1}e^{-x} |{0}^{+\infty} + (\alpha -1) \int{0}^{+\infty} x^{\alpha-2}e^{-x} , \mathrm{d}{x} \
&= (\alpha -1) \Gamma(\alpha-1), \alpha>1
\end{align} $$

且 $\Gamma(1)=1$ 。

所以对于正整数$n$，可得$$\Gamma(n)=(n-1)!,\quad n\geqslant {1}$$