极限定义

反常积分与普通定积分的区别只有两种：

  1. 积分区间伸向无穷；
  2. 被积函数在某个端点或内部点趋于无穷。

瑕点都必须改写成极限。例如

$$
\int_a^{+\infty}f(x),dx
=\lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x),dx,
$$

$$
\int_a^b f(x),dx
=\lim_{\varepsilon\to0^+}
\int_{a+\varepsilon}^b f(x),dx
$$

右侧极限为有限数时，反常积分收敛；极限为无穷或不存在时，反常积分发散。这里判断的是截断积分的极限，不是 $\lim f(x)$。

若 $c\in(a,b)$ 是瑕点，必须拆成

$$
\int_a^c f(x),dx+\int_c^b f(x),dx,
$$

并要求两个单侧积分分别收敛。

不能用正负抵消代替收敛

$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{dx}{x}$ 的两个单侧积分均发散，因此反常积分发散；对称计算得到的 $0$ 只是柯西主值。

等价比较

设 $f,g\ge0$，并且在同一瑕点附近

$$
\lim\frac{f(x)}{g(x)}=C,\qquad 0<C<+\infty.
$$

则充分靠近瑕点时$f(x) \sim Cg(x)$

积分后仍保持该性质。所以 $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散。

该比较要求函数在瑕点附近同号；振荡积分不能直接这样处理。

$g(x)$选取

有限点使用等价无穷小：

$$
\sin x\sim x,\qquad
1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\qquad
\ln(1+x)\sim x,\qquad
e^x-1\sim x.
$$

$$
\frac{1-\cos x}{x^p}
\sim\frac12x^{2-p}
\Longrightarrow
\int_0^1\frac{1-\cos x}{x^p},dx
\text{ 收敛}\iff p<3.
$$

无穷远处取最高阶项；根式必要时先有理化。增长速度：

$$
\ln x\ll x^\alpha\ll a^x
\qquad(\alpha>0,\ a>1).
$$

$$
\frac{x^m}{(1+x)^n}\sim x^{m-n}
\Longrightarrow
\int_1^{+\infty}\frac{x^m}{(1+x)^n},dx
\text{ 收敛}\iff m-n<-1.
$$

$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$

瑕点为 $0$ 与 $+\infty$：
$$
\frac{\dfrac1{\sqrt{x}(1+x)}}{x^{-1/2}}
=\frac1{1+x}\to1
\qquad(x\to0^+),
$$
$$
\frac{\dfrac1{\sqrt{x}(1+x)}}{x^{-3/2}}
=\frac{x}{1+x}\to1
\qquad(x\to+\infty).
$$
因为 $-\dfrac12>-1$ 且 $-\dfrac32<-1$，两部分均收敛。

基准幂积分

有限点附近：

$$
\int_\varepsilon^\delta x^\alpha,dx

\begin{cases}
\dfrac{\delta^{\alpha+1}-\varepsilon^{\alpha+1}}{\alpha+1},
&\alpha\ne-1,\[6pt]
\ln\dfrac{\delta}{\varepsilon},
&\alpha=-1.
\end{cases}
$$

令 $\varepsilon\to0^+$ 可得

$$
\int_0^\delta x^\alpha,dx
\text{ 收敛}\iff\alpha>-1.
$$

无穷远处同理：

$$
\int_A^{+\infty}x^\alpha,dx
\text{ 收敛}\iff\alpha<-1.
$$

因此

位置 收敛条件
有限点 $a$ $\alpha>-1$
$+\infty$ $\alpha<-1$

临界幂次与对数

$\alpha=-1$ 时，幂积分变成对数并发散。若还有对数因子，不能把它丢掉：

$$
\int_0^\delta
\frac{dx}{x\left(\ln\dfrac1x\right)^q}.
$$

令 $u=\ln\dfrac1x$，则 $dx/x=-du$，原积分化为

$$
\int^{+\infty}\frac{du}{u^q},
$$

故

$$
\int_0^\delta
\frac{dx}{x\left(\ln\dfrac1x\right)^q}
\text{ 收敛}\iff q>1.
$$

无穷远处的 $\displaystyle\int_A^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^q}$ 结论相同。

振荡积分

绝对收敛

$$
\int |f(x)|,dx<+\infty
\Longrightarrow
\int f(x),dx\text{ 绝对收敛}.
$$

[! success] Proof
$$\int_{}^{} f(x), \mathrm{d}{x}= \int_{}^{} f(x)+|f(x)|-|f(x)|, \mathrm{d}{x}$$
而
$$0 \leqslant \int_{}^{} f(x)+|f(x)|, \mathrm{d}{x} \leqslant 2\int |f(x)|,\mathrm{d}{x}$$

收敛是绝对收敛的必要条件。

Dirichlet 判别

Dirichlet 判别处理“振荡项有抵消，但振幅逐渐减小”的情形。

[! info] 引理
若

$$
H(x)=\int_A^x h(t),dt
$$

有界，且 $\phi(x)$ 单调趋于 $0$，则
$$
\int_A^{+\infty}h(x)\phi(x),dx
$$
收敛。

[! success] Proof
对它分部积分
$$
\int_A^{+\infty} h(x)\phi(x),dx
=H(R)\phi(R)-\int_A^{+\infty} H(x)\phi’(x),dx.
$$
第一项趋于 $0$；$H$ 有界，而单调性使 $\int_A^{+\infty}|\phi’(x)|dx<+\infty$，故第二项收敛。

$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}\,dx$
  • $x\to0^+$：$\dfrac{\sin x}{x^p}\sim x^{1-p}$，要求 $p<2$；
  • $x\to+\infty$：Dirichlet 判别要求 $p>0$，绝对收敛要求 $p>1$。

所以：

  • $0<p\le1$：条件收敛；
  • $1<p<2$：绝对收敛；
  • 其余情形发散。