Gamma Function

$\Gamma$ 函数

$$\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{-x} \, \mathrm{d}{x}$$

它的性质十分有趣。

$\Gamma (\alpha)$ 值

考虑递推式

$$\begin{align} \Gamma(\alpha)&= -x^{\alpha-1}e^{-x} |_{0}^{+\infty} + (\alpha -1) \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-2}e^{-x} \, \mathrm{d}{x} \\ &= (\alpha -1) \Gamma(\alpha-1), \alpha>1 \end{align}$$

且 $\Gamma(1)=1$ 。

所以对于正整数$n$，可得 $$\Gamma(n)=(n-1)!,\quad n\geqslant {1}$$