进位计数制

进位计数制用有限个数码和位权表示数值。对于 $r$ 进制数：

$$
K_nK_{n-1}\cdots K_1K_0.K_{-1}K_{-2}\cdots
$$

其真值为：

$$
\sum_i K_i r^i
$$

其中每个数码 $K_i$ 必须满足：

$$
0 \le K_i < r
$$

例如：

$$
(975.36)_{10}=9\times10^2+7\times10^1+5\times10^0+3\times10^{-1}+6\times10^{-2}
$$

进制转换

任意进制转十进制

按位权展开后求和。

Example

$$
(1011.01)_2=1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0+0\times2^{-1}+1\times2^{-2}=11.25
$$

十进制转任意进制

整数部分和小数部分分开处理。

部分	方法	读数方向
整数部分	除基取余	余数从下往上读
小数部分	乘基取整	整数部分从上往下读

整数部分：除基取余

把十进制整数 $N$ 转为 $r$ 进制：

用 $N$ 除以 $r$，记录余数。
用商继续除以 $r$，继续记录余数。
重复直到商为 $0$。
将余数从最后一次到第一次逆序写。

$13_{10}$ 转二进制

$13 \div 2 = 6 \cdots 1$

$6 \div 2 = 3 \cdots 0$

$3 \div 2 = 1 \cdots 1$

$1 \div 2 = 0 \cdots 1$

余数从下往上读：$1101$，所以 $(13)_{10}=(1101)_2$。

$75_{10}$ 转八进制

$75 \div 8 = 9 \cdots 3$

$9 \div 8 = 1 \cdots 1$

$1 \div 8 = 0 \cdots 1$

余数从下往上读：$113$，所以 $(75)_{10}=(113)_8$。

小数部分：乘基取整

把十进制小数 $F$ 转为 $r$ 进制：

用 $F$ 乘以 $r$。
取乘积的整数部分作为下一位数码。
保留乘积的小数部分继续乘以 $r$。
重复直到小数部分为 $0$，或达到题目要求的精度。
将每次取得的整数部分从第一次到最后一次顺序写出。

$0.625_{10}$ 转二进制

$0.625 \times 2 = 1.25$，取 $1$，保留 $0.25$

$0.25 \times 2 = 0.5$，取 $0$，保留 $0.5$

$0.5 \times 2 = 1.0$，取 $1$，小数部分为 $0$

整数部分从上往下读：$101$，所以 $(0.625)_{10}=(0.101)_2$。

带小数的十进制数

整数部分和小数部分分别转换，再用小数点连接。例如 $(13.625)_{10}=(1101.101)_2$。

二进制、八进制、十六进制互转

二进制与八进制、十六进制互转时，直接按位分组。

转换	分组规则
二进制 <-> 八进制	3 位二进制对应 1 位八进制
二进制 <-> 十六进制	4 位二进制对应 1 位十六进制

分组方向

整数部分从小数点向左分组，不足高位补 0；小数部分从小数点向右分组，不足低位补 0。

二进制转八进制

从小数点开始分组：

整数部分向左每 3 位一组。
小数部分向右每 3 位一组。
不足 3 位时补 0。
每组二进制直接换成 1 位八进制。

$(1101011.1011)_2$ 转八进制

整数部分：$1\ 101\ 011$，高位补 0 得 $001\ 101\ 011$

小数部分：$101\ 1$，低位补 0 得 $101\ 100$

$001=1$，$101=5$，$011=3$，$101=5$，$100=4$

所以 $(1101011.1011)_2=(153.54)_8$。

八进制转二进制

把每一位八进制数展开成 3 位二进制。

$(153.54)_8$ 转二进制

$1=001$，$5=101$，$3=011$，$5=101$，$4=100$

得 $001101011.101100$，去掉整数最高位多余的 0 和小数末尾补出的 0：

$(153.54)_8=(1101011.1011)_2$。

二进制转十六进制

从小数点开始分组：

整数部分向左每 4 位一组。
小数部分向右每 4 位一组。
不足 4 位时补 0。
每组二进制直接换成 1 位十六进制。

$(1101011.1011)_2$ 转十六进制

整数部分：$110\ 1011$，高位补 0 得 $0110\ 1011$

小数部分：$1011$

$0110=6$，$1011=B$

所以 $(1101011.1011)2=(6B.B){16}$。

十六进制转二进制

把每一位十六进制数展开成 4 位二进制。

$(6B.B)_{16}$ 转二进制

$6=0110$，$B=1011$

得 $01101011.1011$，去掉整数最高位多余的 0：

$(6B.B)_{16}=(1101011.1011)_2$。

Important

八进制与十六进制之间互转，需要先转二进制再转

常见书写方式

进制	常见写法
二进制	$(1011)_2$，`1011B`，`0b1011`
八进制	$(17)_8$，`17O`
十进制	$(15)_{10}$，`15D`
十六进制	$(2F)_{16}$，`2FH`，`0x2F`