数的编码表示

真值是符合人类习惯的数值写法，例如 $+15$、$-8$。

机器数 是数值实际存入计算机时的 bit 模式。对于负数，符号也必须被编码成 bit。

真值	一种机器表示示意
$+15$	`0 1111`
$-8$	`1 1000`

先判断解释规则

1000 可以是无符号数 $8$，也可以在 4 位补码中表示 $-8$。bit 串本身不携带解释规则。

无符号数

n 位无符号整数全部 bit 都是数值位，表示范围为：

$$
0 \le x \le 2^n - 1
$$

例如 8 位无符号整数的范围是：

$$
0 \le x \le 255
$$

无符号数适合表示地址、长度、计数值等不需要负数的对象。

有符号定点数

有符号定点数需要用某种编码规则表示正负号。常见编码包括：

原码
补码
移码

若真值为 $x$，常写作：

$[x]_{\text{原}}$
$[x]_{\text{反}}$
$[x]_{\text{补}}$
$[x]_{\text{移}}$

原码

原码用最高位表示符号，数值位表示真值的绝对值。

符号位	含义
0	正数
1	负数

例如 8 位机器字长：

真值	原码
$+19$	`0,0010011`
$-19$	`1,0010011`

若机器字长为 $n+1$ 位，其中 $n$ 位为数值位，则原码整数范围为：

$$
-(2^n-1) \le x \le 2^n-1
$$

原码的真值 0 有两种表示：

0,000...0
1,000...0

补码

补码规则：

正数补码与原码相同。
负数补码等于其反码末位加 1。

实质是：n 位补码的最高位权重为负，其余位权重为正。

例如 4 位补码的位权是：

$$
-2^3,\ 2^2,\ 2^1,\ 2^0
$$

所以：

$$
5_{10} = 0 + 4 + 0 + 1 = 0101_2
$$

而

$$
-5_{10} = -8 + 0 + 2 + 1 = 1011_2 = 0101_{2}\text{按位取反再加}1
$$

按位取反再加1即为取相反数操作，所以负数补码转回正数补/码的方法相同

补码整数范围为：

$$
-2^n \le x \le 2^n-1
$$

补码的真值 0 只有一种表示，因此比原码和反码多表示一个最小负数 $-2^n$即$\displaystyle 1\quad\underbrace{0…0}_{n\text{个}0}$

为什么补码重要

补码让减法可以转化为加法，这是整数运算电路统一化的基础。

移码

移码是补码加上一个固定的数，字长$n+1$位通常取$2^{n}$

真值	补码	移码
$+19$	`0,0010011`	`1,0010011`
$-19$	`1,1101101`	`0,1101101`

移码只能用于表示整数。若机器字长为 $n+1$ 位，则移码整数范围与补码相同：

$$
-2^n \le x \le 2^n-1
$$

移码的一个重要特点是：编码值越大，真值越大，因此很适合比较大小。IEEE 754 浮点数的阶码采用偏置编码，思想上与移码相近。

定点整数与定点小数

定点数的小数点位置固定。

定点整数

定点整数的小数点默认在最低位之后。

例如：

0,0010011

可以解释为一个带符号定点整数编码。

定点小数

定点小数的小数点默认在符号位之后、数值位之前。

例如：

0.1100000

可以解释为 $+0.75$ 的一种定点小数表示。

表示范围

若机器字长为 $n+1$ 位，则常见范围如下：

编码	定点整数范围	定点小数范围
原码	$-(2^n-1) \le x \le 2^n-1$	$-(1-2^{-n}) \le x \le 1-2^{-n}$
反码	$-(2^n-1) \le x \le 2^n-1$	$-(1-2^{-n}) \le x \le 1-2^{-n}$
补码	$-2^n \le x \le 2^n-1$	$-1 \le x \le 1-2^{-n}$
移码	$-2^n \le x \le 2^n-1$	不用于定点小数

数据的存储和排列

一个多字节数据在内存中一定占用连续的若干字节。因此需要讨论字节的顺序以及数据的第一个字节的地址。

大小端模式

大小端源自《格列佛游记》，指“打破鸡蛋从大端/小端开始”。

在CS中描述的是多字节数据在内存中的字节排列顺序。

以 4 字节整数 0x01234567 为例，它由 4 个字节组成：

1	01 23 45 67

其中：

01 是最高有效字节，MSB。
67 是最低有效字节，LSB。

若地址从低到高递增：

模式	低地址 -> 高地址	解释
大端模式	`01 23 45 67`	低地址放最高有效字节（大端）
小端模式	`67 45 23 01`	低地址放最低有效字节（小端）

大小端不改变数值

0x01234567 的数值没有变。大小端只影响它拆成字节后在内存中的摆放顺序。

边界对齐

对于普通数据成员，起始位置落在该数据大小的整数倍地址上。第一个数据成员放在offset=0 的地方。
对于结构体成员，起始位置落在内部最大元素大小的整数倍地址上。
结构体大小应是内部成员中最大对齐参数（对齐参数一般等于元素大小）的整数倍。

对齐访问时，一个字可能一次访存就能读出。未对齐访问时，数据可能跨过存储字边界，需要两次访存，再由硬件拼接。

为什么要对齐

边界对齐主要是为了提高访存效率，也能简化硬件处理。
有些体系允许未对齐访问但速度较慢，有些体系可能直接禁止某些未对齐访问。