数值类型

C 语言中的数值类型可以分成两大类：整数类型 和 浮点类型。整数存储方式通常为补码或无符号编码，浮点数为 IEEE 754 编码。

整数类型

常见整数类型包括：

类型	常见位宽	说明
`char` / `signed char` / `unsigned char`	8 bit	字节级整数，`char` 是否有符号由实现决定
`short` / `unsigned short`	16 bit	短整数
`int` / `unsigned int`	32 bit	默认整数类型
`long` / `unsigned long`	32 bit 或 64 bit	位宽与平台有关
`long long` / `unsigned long long`	64 bit	长长整数

位宽不是语法保证

C 标准只规定不同整数类型的最小范围和相对大小关系，具体位宽与平台、编译器和 ABI 有关。如果题目没有特地说明，则按以上默认值计算。

有符号整数在现代机器中通常用补码表示；无符号整数按普通二进制位权解释。

浮点类型

常见浮点类型包括：

类型	常见格式	典型位宽	说明
`float`	IEEE 754 单精度	32 bit	1 位符号位、8 位阶码、23 位尾数
`double`	IEEE 754 双精度	64 bit	1 位符号位、11 位阶码、52 位尾数
`long double`	平台相关	80 bit、128 bit 或与 `double` 相同	具体格式不固定

类型转换

类型转换关键在于：

位宽是否改变。
解释语义是否改变。

截断与扩展

从较长整数类型转为较短整数类型时，通常保留低位，丢弃高位。这叫 位截断。

1 2	int x = 0x12345678; short y = (short)x;

若 short 为 16 bit，则 y 的低 16 bit 为：

0x5678

从较短整数类型转为较长整数类型时，需要扩展高位。扩展方式有以下两种，扩展方式的选择只与原类型无符号有符号有关：

零扩展

零扩展用于无符号整数：在高位补 0。

unsigned char x = 0b10110110;
unsigned int y = x;

10110110 -> 00000000 00000000 00000000 10110110

零扩展不改变无符号数的真值。

符号扩展

符号扩展用于带符号补码整数：用符号位扩展高位。

1 2	+90: 0,1011010 -> 0,00000000 1011010 -90: 1,0100110 -> 1,11111111 0100110

符号扩展不改变补码真值。

相同位宽：语义改变

位宽不变时只改变解释方式。

1 2	unsigned char u = 255; // 11111111 signed char s = (signed char)u;

如果 signed char 采用 8 位补码，则 11111111 被解释为 $-1$。

bit 模式	解释为 `unsigned char`	解释为 `signed char`
`11111111`	255	-1
`10000000`	128	-128
`01111111`	127	127

整数与浮点之间转换

整数转为浮点数时，若浮点格式能精确表示该整数，真值不变；若只能近似表示，转换结果落在相邻的可表示浮点数上。

有限浮点数转为整数时，先丢弃小数部分，即向 0 截断：

1 2	(int)3.9 == 3 (int)-3.9 == -3

若截断后的整数超出目标整数类型的表示范围，C 语言不保证转换结果，不能依赖所谓的“截断低位”或“饱和到最大值”。

整数转浮点数会有精度丢失问题

IEEE 754 单精度 float 只能连续精确表示 $-2^{24}\sim 2^{24}$ 内的整数。精度边界见推导过程。

1
2
3

int x = 16777217;       // 2^24 + 1
float f = (float)x;     // 舍入为 16777216.0f
int y = (int)f;         // 16777216

这里 y != x 是 x 转成 float 时已经丢失了最低有效位。

double 有 53 位有效精度，能精确表示所有常见的 32 位整数；但对 64 位整数仍可能发生同类问题，例如 $2^{53}+1$ 不能被 double 精确表示。

运算时的默认类型提升

C 语言做算术运算时，先看下面这张等级图。

char、unsigned char、short、unsigned short 等小整数类型，先提升到 int。
如果两个操作数类型不同，低等级类型转换为高等级类型。

小整数类型先提升

图中最下面的 char、unsigned char、short、unsigned short 不直接参加算术运算，而是先提升到 int。

unsigned char a = 255;
unsigned char b = 1;
int c = a + b; //256
unsigned char d = a + b; //0, int->unsigned char触发截断

a + b 计算前，a 和 b 先提升为 int：

$$
255 + 1 = 256
$$

所以 c 是 256，不是 8 bit 无符号加法溢出后的 0。

小整数不等于小位宽运算

看到 char + char、short + short，先想到“提升到 int”，不要直接按 8 bit 或 16 bit 加法算。

低等级向高等级转换

小整数提升之后，再比较两个操作数在图中的高低。低的转换成高的，然后再运算。

`int + double`：

1
2
3

int a = 3;
double b = 0.5;
double c = a + b;

double 高于 int，所以 a 转换为 double。

`float + double`：

1
2
3

float f = 1.0f;
double d = 2.0;
double x = f + d;

double 高于 float，所以 f 转换为 double。

`int + long`：

1
2
3

int i = 10;
long l = 20;
long r = i + l;

long 高于 int，所以 i 转换为 long。

有符号数和无符号数

同宽的无符号数高于有符号数。

Example

1 2	int a = -1; unsigned int b = 1;

问a < b结果。
比较前，a 转换为 unsigned int。在 32 bit 无符号数中，-1 被解释为：

$$
2^{32}-1
$$
所以 a < b 为假。

先转换，再计算

C 表达式不是先按数学意义算完再看类型，而是先按等级图完成类型转换，再计算。