导数定义

$$
f’(x_0)=\lim_{x\to x_0}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
$$

一点导数存在的充要条件：

$$
f’-(x_0)=f’+(x_0),
$$

其中两者都是差商的单侧极限。**注意这不等于$f’(x)$ 的左右极限。反例见衰减振荡函数**，而且由反例易得，$\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} }f(x)$的条件更强，即若这个存在可以推出f(x)但反推不成立

判断顺序：

先查 $f(x_0)$ 与左右极限；不连续则必不可导。
连续后再算左右差商。
两侧差商极限有限且相等，才可导。

在一点存在导数则在一点连续，但反之不成立。

连续只是必要条件，但不连续一定不可导。
在一点存在导数不能说明在邻域连续，反例：衰减狄利克雷函数

$f'(x_0)$ 与 $f'(x)$ 不要混淆

$f’(x_0)$ 是一个数；$f’(x)$ 是函数。对 $x\ne x_0$ 求出的公式在 $x_0$ 无定义，不代表 $f’(x_0)$ 不存在。

同样地，$\displaystyle\lim_{ x \to x_{0}^{\cdot} }f’(x)\neq f’_{\cdot}(x), \cdot = + \text{ or } -$，见衰减振荡函数

所以求分类函数的分界点的导数必须单独用定义计算。即计算$f’{-}(x{0})$和$f’{+}(x{0})$而不能直接使用$f’(x)$的$x_{0}$左右两侧极限。

导函数的间断

导函数间断性质

导函数具有 Darboux 性质，即不能跳过中间值。因此导函数只能连续或存在振荡间断点。

若导函数在一点附近有有限极限，该极限必须等于该点导数。反之不成立，见衰减振荡函数

有第一类间断点和无穷间断点的函数不可能是某个函数的导函数，也就没有原函数。

一些有趣的反例函数

衰减振荡函数

常使用以下函数构造反例。

$$
f(x)=
\begin{cases}
Ax^m\sin\left(\dfrac B{x^n}\right),&x\ne0,\
0,&x=0,
\end{cases}
\qquad A\ne0.
$$

由 $|\sin u|\le1$：

$m>0$ 时$f(x)$在 $0$ 连续且$f(0)=0$；
$m>1$ 时 $f’(0)=0$。

对 $x\ne0$，

$$
f’(x)=Amx^{m-1}\sin\left(\frac B{x^n}\right)
-ABnx^{m-n-1}\cos\left(\frac B{x^n}\right).
$$

所以根据指数 $m-n-1$ 判断导函数在 0 附近的存在性：

$m-n-1>0$：导函数连续，$\displaystyle\lim_{ x \to0 }f’(x)$存在；
$m-n-1\leqslant0$：导函数不连续，$\displaystyle\lim_{ x \to 0 }f’(x)$不存在但$f’(0)=0$，即存在$f’{+}(0)=0$与$f’{-}(0)=0$；

由于$m>1$ 时 $f’(0)=0$。常与与多项式 $q(x)$ 相加，使得$f’(0)+q’(0)=q’(0)$，同时让一些$q’(x)$一些显然满足的性质失效。本质就是因为$f’(x)$存在振荡间断点，即$f’(x_{0})$存在但是$\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} }f’(x)$不一定存在。

有界振荡函数$\displaystyle\sin\left( \frac{1}{x} \right)$

实际上衰减振荡函数是考虑使用了$x^{m}$这个衰减因子使得有界振荡函数能在 0 处收敛为 0。衰减振荡函数之所以那样有趣，很大一部分来自于它的有界振荡函数父亲。
关于有界振荡函数的性质，也有一些很经典的反例，例如：
我们知道，有界函数乘无穷小量等于0。那么:
$f(x)$在 0 的去心邻域连续，且$\displaystyle\lim_{ x \to 0 }f(x)\cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right)=0$, 我们可以说$\displaystyle\lim_{ x \to 0 }f(x)=0$吗？
考虑是否存在反例。$\sin \frac{1}{x}$有无穷零点，一个很显然的构造思路就是，在零点处$f(x)$为一个固定不变的值$A$，而非零点处$f(x)$趋于0。

当$\sin \frac{1}{x}$为0时，$f(x)$为$A$，当$\sin \frac{1}{x}$非0时，$f(x)$趋于0.

一种构造即是：
$$
f(x)= \frac{x}{|x|+|\sin \frac{1}{x}|}
$$

衰减狄利克雷函数

常使用下面的函数构造反例：

$$f(x)=\begin{cases}
x^{m},&x \in \mathbb Q; \
0, &x \notin \mathbb Q,
\end{cases}\qquad m>1.$$

由

$$
|f(x)|\le |x|^m
$$

可知 $f$ 在 $0$ 连续。对任意 $a\ne0$，分别取趋于 $a$ 的有理数列与无理数列，函数值分别趋于 $a^m$ 与 $0$，所以 $f$ 在 $a$ 处不连续。因此，$0$ 是唯一的连续点。

在 $0$ 处使用导数定义：

$$
\frac{f(x)-f(0)}x=
\begin{cases}
x^{m-1},&x\in\mathbb Q,\
0,&x\notin\mathbb Q.
\end{cases} \qquad x\to{ 0}
$$

由于 $m>1$ 时，差商趋于 $0$，故 $f’(0)=0$。

所以 $f$ 在 $0$ 可导。但显然 $f$ 在 $0$ 的任意去心邻域内处处不连续。 因为对于 $f(a), a\neq 0$ ，无法找到一个 $\delta>0$ 使得 $\forall x \in (a-\delta,a+\delta), |f(x)-f(a)|<|a^{m}|$

当 $m>1$ 时，也常与与多项式 $q(x)$ 相加，使得$f’(0)+q’(0)=q’(0)$，同时让一些$q’(x)$一些显然满足的性质失效。**本质就是因为$f’(x_{0})$存在但在邻域不连续。

洛必达的限制

在 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型下，满足洛必达条件时，

$$
\lim\frac{f’}{g’}=L
\Rightarrow
\lim\frac fg=L.
$$

反推不成立。题设若只给出 $\lim f/g$，不能据此断言 $\lim f’/g’$ 存在。见例题。

例题

题目

$f$ 在 $(-1,1)$ 可导，且
$$
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1.
$$
判断下列结论：

A. $\displaystyle\exists\lim_{x\to0}\frac{f’(x)}x$

B. $\displaystyle\not\exists\lim_{x\to0}\frac{f’(x)}x$

C. $f’(0)=0,\ f’’(0)=2$

D. $f(0)$ 为 $f(x)$ 的极小值

由可导 $\Rightarrow$ 连续及已知极限，得 $f(0)=0$。再由导数定义，

$$
f’(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}x
=\lim_{x\to0}x\frac{f(x)}{x^2}=0.
$$

当 $x$ 充分接近 $0$ 且 $x\ne0$ 时，$f(x)/x^2>0$，故 $f(x)>f(0)=0$，D 正确。

A、B 都不能由题设单独确定：$f(x)=x^2$ 时 A 成立、B 不成立；下面的反例中 A 不成立、B 成立。C 也不一定成立。利用衰减振荡函数构造

$$
f(x)=x^2+x^4\sin\frac1{x^2}\quad(x\ne0), \qquad f(0)=0,
$$

则

$$
\frac{f’(x)}x
=2+4x^2\sin\frac1{x^2}-2\cos\frac1{x^2},
$$

极限不存在。

这也说明 $f(x)/x^2\to1$ 不能反推出 $f’(x)/x$ 的极限；同样不能据此断言 $f’’(0)=2$。