等价无穷小

结构	优先处理
$0/0$，无明显相消	等价无穷小、因式分解、洛必达
$0/0$，主项相消	泰勒展开到首个非零项
含变上限积分	积分中值或洛必达去积分号
$\infty-\infty$	通分、有理化、提取主导项
振荡因子乘衰减因子	取绝对值后夹逼
$1^\infty,0^0,\infty^0$	先取对数

$0/0$：比较最低非零次数

写成

$$
P(x)=a_m(x-x_0)^m+o((x-x_0)^m),
$$

$$
Q(x)=b_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n).
$$

$m>n$：极限为 $0$；
$m=n$：极限为 $a_m/b_n$；
$m<n$：通常发散，需判断左右符号。

“次数对齐”不是让分子、分母形式相同，而是两边都展开到首个不相消的项。

常用等价无穷小：

$$
\sin x\sim x,\quad e^x-1\sim x,\quad
\ln(1+x)\sim x,\quad 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}.
$$

等价替换只直接用于乘积和商。遇到 $\sin x-x$、$e^x-1-x$ 等加减相消，改用泰勒展开。

含积分号

若被积函数连续，变上限积分可求导：

$$
\left(\int_a^x f(t),\mathrm dt\right)’=f(x).
$$

形成 $0/0$ 型时，可用洛必达去积分号。若分母就是区间长度，直接记住

$$
\lim_{x\to a}\frac1{x-a}\int_a^x f(t),\mathrm dt=f(a).
$$

先确认是未定式；“含积分”本身不是使用洛必达的理由。

$\infty-\infty$

目标是暴露大项相消后的下一阶项：

分式通分；
根式乘共轭式；
同阶项提取主导量；
指数、幂式先取对数或作渐近展开。

例如

$$
\sqrt{x^2+x}-x
=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}
\to\frac12.
$$

极限

$$
f(x)\to A
\iff
\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,
\ 0<|x-x_0|<\delta
\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.
$$

证明局部性质时，把 $\varepsilon$ 取成合适的固定值：

局部有界：取 $\varepsilon=1$；
$A\ne0$ 时保号性：取 $\varepsilon$为某个小于 $|A|$ 的正数即可；

保号性

重要前提：$\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=A$存在！

先讨论$A\neq 0$时。保号性即存在$x_{0}$的去心邻域，若$x$在去心邻域里，则$f(x)$与$A$同号。

令 $\displaystyle\varepsilon= \frac{|A|}{3}$；则存在$\delta>0$, 使得$x \in (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)$，有$$0<|f(x)-A|< \frac{|A|}{3}$$
即$$\begin{cases}
0<\frac{2}{3}A<f(x)< \frac{4}{3}A,A>0; \
\frac{4}{3}A<f(x)< \frac{2}{3}A<0,A<0
\end{cases}$$

得证。

所以我们还能更进一步地说：保号性即存在$x_{0}$的去心邻域，若$x$在去心邻域里，在$A>0$时，则$f(x)$的值可以大于$[0, A)$的任意值；$A<0$时，则$f(x)$的值可以小于$(A, 0]$的任意值

$A=0$ 时不能只由极限推出符号。还必须要有其他信息。

题目

已知 $f’(x)\le0$，且
$$
\lim_{x\to+\infty}f(x)=0.
$$
证明：$f(x)\ge0$。

$f’(x)\le0$ 说明 $f$ 单调递减。对任意 $t>x$，$f(x)\ge f(t)$；令 $t\to+\infty$，得到 $f(x)\ge f(t)\geqslant{0}$。

夹逼

优先把目标压成绝对值：

$$
|f(x)|\le g(x),\qquad g(x)\to0
\Rightarrow f(x)\to0.
$$

振荡项用 $|\sin u|,|\cos u|\le1$；积分可用“区间长度 $\times$ 被积函数上界”估计。

连续

连续需同时满足：$f(x_0)$ 有定义、左右极限相等、极限等于 $f(x_0)$。

间断

单侧极限情况	间断类型	归类
有限且相等，但不等于函数值	可去	第一类
有限但不相等	跳跃	第一类
至少一侧趋于无穷	无穷	第二类
至少一侧振荡无极限	振荡	第二类

分段函数在分界点必须分别计算左极限、右极限和函数值。