Channel Capacity Nyquist Shannon
信道容量为什么有限
实际信道不是理想通道。信号在传输过程中会发生失真，接收端只能在失真不严重时正确识别码元。
造成失真的主要因素：
- 码元传输速率过高。
- 信号传输距离过远。
- 噪声干扰过强。
- 传输媒体质量较差。
数字信号可以看成多个不同频率的模拟信号叠加而成。信道带宽有限，高频分量会被衰减甚至无法通过，接收端看到的波形边沿会变缓，码元之间的边界变得不清楚。
这种码元边界互相拖尾、导致接收端难以判断每个码元的现象称为码间串扰。码间串扰限制了码元传输速率。
奈奎斯特定理
奈奎斯特定理讨论的是无噪声、理想低通信道中，为避免码间串扰，码元传输速率最多能达到多少。
理想低通信道的最高码元传输速率为：
$$
B_{\max}=2W\text{ Baud}
$$
其中 $W$ 是信道频率带宽，单位 Hz。
若每个码元有 $M$ 种状态，则最高数据传输速率为：
$$
R_{\max}=2W\log_2 M \text{ b/s}
$$
奈奎斯特定理说明：带宽越大，允许的码元传输速率越高；码元状态数越多，每个码元携带的 bit 越多。
奈奎斯特定理本身不考虑噪声。实际信道有噪声，码元状态数越多，相邻状态越难区分，错误概率越高。这个限制由香农定理刻画。
香农定理讨论的是带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道中，信息传输速率的理论上限。
$$
C=W\log_2(1+\frac{S}{N})\text{ b/s}
$$
其中：
- $C$ 是信道极限信息传输速率。
- $W$ 是信道频率带宽，单位 Hz。
- $S$ 是信号平均功率。
- $N$ 是噪声功率。
- $\frac{S}{N}$ 是信噪比。
香农定理说明：信道带宽越大、信噪比越高，极限信息传输速率越高。但只要带宽和信噪比有限，信息传输速率就有上限。
信噪比
信噪比有两种常见表示：
- 线性信噪比：$\frac{S}{N}$，就是信号平均功率 $S$ 除以噪声功率 $N$，没有单位。
- 分贝信噪比：把线性信噪比取对数后写成 dB，便于表示很大或很小的功率比。
S/N与分贝信噪比的换算关系：
$$
\mathrm{SNR}{dB}=10\log{10}\frac{S}{N}
$$
若题目给的是 dB，不能把 dB 数值直接代入香农公式，必须先换回线性信噪比：
$$
\frac{S}{N}=10^{\mathrm{SNR}_{dB}/10}
$$
例如，信噪比为 $30\text{ dB}$ 时：
$$
S/N=10^{30/10}=10^3=1000
$$
代入香农公式时用的是 $1000$，不是 $30$。
奈奎斯特定理与香农定理对比
| 对比 | 奈奎斯特定理 | 香农定理 |
|---|---|---|
| 信道条件 | 理想低通信道，无噪声 | 带宽受限，有高斯白噪声 |
| 主要限制 | 码间串扰 | 噪声 |
| 计算对象 | 最高码元传输速率；结合 $M$ 算数据率 | 极限信息传输速率 |
| 关键参数 | $W$、$M$ | $W$、$S/N$ |
| 典型公式 | $B_{\max}=2W$ | $C=W\log_2(1+S/N)$ |
两者关注的问题不同。奈奎斯特定理体现码元不能发得太密，否则会码间串扰；香农定理体现即使调制技术再复杂，在给定带宽和信噪比下也不能突破极限容量。
计算流程
计算题通常先判断题目给的是哪类限制。
- 若题目给出带宽 $W$ 和码元状态数 $M$，且问无码间串扰时最高速率，优先使用奈奎斯特定理：
$$
R_{\max}=2W\log_2 M
$$
- 若题目给出带宽 $W$ 和信噪比 $S/N$ 或 dB，且问极限信息传输速率，优先使用香农定理：
$$
C=W\log_2(1+S/N)
$$
- 若两个条件都给出，信道实际可达速率不能超过两者中更小的限制：
$$
R \le \min(2W\log_2 M,\ W\log_2(1+S/N))
$$
$W$ 用 Hz，数据率用 b/s。
若题目给 $kHz$、$MHz$、$kb/s$、$Mb/s$，先按十进制换算。